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数学核心素养及其特征分析
2014年3月，教育部发布了《关于全面深化课程改革
落实立德树人根本任务的意见》，明确提出将研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准、修订课程方案和课程标准、改进学科教学的育人功能作为落实课程改革的关键领域和主要环节[1]。学生发展核心素养的研究与讨论，成为教育界乃至社会关注的重要话题。2016年9月13日，教育部公布《中国学生发展核心素养》，正式确定学生发展核心素养的框架、维度和指标。学生发展核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力[2]。学生发展核心素养的培养要体现在学校的教育教学过程之中，而学科教育占学校教育的70%以上，是学生在学校接受教育的主要途径。数学是中小学教育的主要学科之一，如何理解数学核心素养及其与学生发展素养的关系，数学核心素养有哪些重要的特征，对于小学数学教学中理解和体现核心素养的培养有重要意义。
一、数学核心素养的理解
虽然“学生的核心素养体现跨学科、综合性的能力培养”[3]，但学生发展核心素养形成，必然要通过学科教学来实现。并且每一个学科有自身的独特价值，在培养学生核心素养方面发挥特殊的作用，数学学科更是如此。
-可编辑修改-。1.数学核心素养的含意。
数学核心素养是以数学课程教学为载体，基于数学学科的知识技能而形成的重要的思维品质和关键能力。数学核心素养是在数学知识技能的学习过程中形成的，有助于学生深刻理解与掌握数学知识技能。数学核心素养不等同于数学知识技能，是高于数学的知识技能，指向于学生的一般发展，反映数学学科的本质与及其赖以形成与发展的重要思想，有助于学生终身和未来发展。数学核心素养与数学课程的目标和内容密切相关，对于理解数学内容的本质，设计数学教学，以及开展数学学习评价等，有着重要的意义和价值。
一般认为，“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的认识、理解数学在自然、社会生活中的地位的能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。[4]”数学核心素养是数学素养中最重要的思维品质和关键能力，是人们通过数学的学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所必备的品质与能力，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。人们所遇到的问题可能是数学问题，也可能不是明显的和直接的数学问题，而具备数学素养的人可以从数学的角度看待问题，用数学的思维方法思考问题，用数学的方法解决问题。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出数学教学中应特别重视的10个重要能力，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和-可编辑修改-。创新意识。可以把这10个重要能力理解为学生学习数学应达成的重要思维品质和关键能力。因此，把它们理解为数学核心素养是恰当的。正在修订的《普通高中数学课程标准》明确提出了6大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析[5]。可见，普通高中课程标准中确定的数学核心素养与义务教育数学课程标准中提出的10个核心素养是一脉相承的，关键要素的表达是基本一致的。
数学核心素养反映了数学的基本思想和学习数学的关键能力。史宁中认为，数学基本思想“是数学发展所依赖、所依靠的思想”。“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”[6]。数学基本思想是研究数学科学不可缺少的思想，也是学习数学，理解和掌握数学所应追求和达成的目标。可见，数学抽象、逻辑推理、数学建模反映的是数学基本思想，是核心素养中最重要的数学思维品质。另外三个方面的核心素养，数学运算、直观想象和数据分析，可以理解为学习数学的关键能力和方法。当然，思维品质和关键能力并非截然分开的，抽象、推理和建模也是学习数学的重要能力。
上述10个方面或6个方面的数学核心素养，是中小学数学教学过程中应当特别关注的，是基于数学知识技能学习过程而形成的。同时，这些素养又对学生深刻理解数学知识技能，进而体会数学学科本质，运用数学分析和解决问题，以及学生的一般发展，都有重要作用。
-可编辑修改-。2.数学核心素养与学生发展核心素养的关系。
数学核心素养与学生发展核心素养具有共同的属性，即都是核心素养，关注的都是学生深层的长远发展。核心素养关注学生一般发展，学生发展核心素养是针对学生在一个阶段的学习形成的一般发展的重要的和关键的品质和能力，如社会担当、人文底蕴、学会学习等。数学核心素养是学生学习数学的过程中形成的体现学科本质的具有一般发展属性的品质与能力。学生发展核心素养与数学核心素养二者之间有内在的联系。可以通过图1理解学生发展核心素养与数学核心素养的关系。
首先，学生发展核心素养指向学生整体的全面的发展，是学生综合素养中的核心素养。数学核心素养作为学科核心素养处于学生发展核心素养的下位，同样指向学生发展核心素养，但数学核心素养并非全部属于学生发展核心素养，学科核心素养的总和不等于学生发展核心素养。一方面，学科教学不是学校教育的全部，学生发展核心素养并非全部由学科课程与教学完成；另一方面，学科核心素养大部分指-可编辑修改-。向学生发展核心素养，但也不排除其中有一小部分只是针对学科内部的思维与能力，重点解决学科知识的理解所运用的思维品质与能力。就数学学科而言，数学核心素养中可能存在对于学科本身是重要的和关键的，而在学生的整体发展方面并非关键的核心素养。如数学中的几何直观，对于解决数学问题属于关键能力，可以作为数学的核心素养之一，但对于学生的一般发展未必是关键能力。
其次，数学课程与教学是实现学生数学核心素养的重要途径，也承担着形成学生发展核心素养的任务。数学课程与教学目标具有数学学科本身的特殊性，同时又是学生全面发展的组成部分，因此，数学课程与教学的最终目标是促进学生的发展。数学的课程设计与教学过程，既关注学生的数学核心素养的形成，又关注学生发展核心素养。数学教学过程承担着数学教育目标的实现任务，也具有发展学生的一般核心素养的功能。
再次，学生发展核心素养具有跨学科性。学校设计和组织的学科教学以外的各类活动对于学生发展核心素养发挥重要作用，但不意味着学生的核心素养一定要通过跨学科的方式实现。每一个学科都有培养学生的学科素养的任务，同样也是实现学生发展核心素养的重要载体。学生的核心素养既有跨学科性，又必须通过各学科的课程教学实现。
二、数学核心素养的特征
数学核心素养既具有学生发展核心素养的属性，也具有数学学科的属性。林崇德认为，核心素养具有六个方面的特征，“核心素养是-可编辑修改-。所有学生应具有的最关键、最必要的基础素养；核心素养是知识、能力和态度等的综合表现；核心素养可以通过接受教育来形成和发展；核心素养具有发展连续性和阶段性；核心素养兼具个人价值和社会价值；学生发展核心素养是一个体系，其作用具有整合性”[7]。依据数学核心素养的特征，结合对数学核心素养的理解，数学核心素养的主要特征包括综合性、学科性、关键性、阶段性和持久性。
我们可以通过一个“数的认识”教学的实例说明数学核心素养的几个特征。
“11-20的数认识”教学片段[8]：
“11-20的数认识”是学生第一次正式学习数位与数位上的值，是学习十进制计数法的开始。虽然这个内容许多学生在学前阶段就学过，但学生是否真正理解十进制数的表示方法，学生对不同数位上的数表示不同的数值是否清楚，这关系到“数感”和数的抽象等重要的数学思想。在这节课的设计上，教师针对学生可能存在的困惑，在理解这个知识的过程中，突出了数学抽象，注重学生“数感”的形成。以下的片段就是在学生具体感受古人是如何认识数的，怎样用小木棒表示12这个数等活动的基础上，提出一个富于思考的问题，引起学生的讨论和争论。
师：孩子们，我们的故事还在继续，还记得吗？聪明的古人用1个大石头和1个小石头表示出（11），我们用一捆小棒和一根小棒也能表示出（11），但是问题来了，现在只有2颗长得像这样颜色一样、大小也一样的小珠子了，还能表示11吗？
-可编辑修改-。（以下的讨论表现出学生意见不一致，有人认为能，有人认为不能，教师分别请几个代表到前边来讨论，说说自己的想法）
生1：我觉得2颗小珠子是一样大的，不能表示11，只能表示2，它就是2个，不能表示11。也可以表示20.生2：我摸的时候就像2颗，不像20。
生3：有一颗当作十位，另一颗当作个位，就可以表示11了。
生4：用一颗珠子表示10个，另一颗表示1个。
生1：2颗一样大的，就不能表示11，要是一颗大、一颗小就可以了。可是这2颗小珠子一样大呀？又不是一颗大一个小。一样大的2颗珠子，要么表示2，要么表示20，不能表示11.师：是呀，都长得一样，你怎么能让所有人都知道到底谁是10谁是1呀？
生3：在一颗珠子上写十位，在另一颗珠子上写个位，就能区分了，就可以表示11了。
师：其实刚才他的想法和数学家的想法特别像，数学家为我们制造了计数的工具，快来看（出示计数器），认识吗？
师：这叫计数器。这是数学家帮我们发明的，看看，计数器上有好多的小位子，从右边开始第一位叫“个位”，第二位叫“十位”。
师：有了“计数器”的帮助，能不能表示出11呢？我们来看一看。
师：在黑板上画计数器，然后在个位上放一颗小珠子，表示什么？
生：1个一。
-可编辑修改-。师：在十位上放1颗小珠子，这可不是1个一啦！
生：这是1个十。
师：真好，1个十和1个一合起来就是11。
上面的教学片段中，学生争论的焦点在于：用2颗相同的小珠子是否可以表示11。两种观点针锋相对，能表示11和不能表示11，都能说出道理。学生在这个过程中确实认真思考，动脑筋想问题，投入到学习过程中了。最后抓住了理解这个问题的关键“在一颗珠子上写十位，在另一颗珠子上写个位”，这样就可以表示11了。这是学生对数位与不同数位上的数字可以表示不同的值的理解过程。我们从这个教学片段的分析入手，可以分析学生核心素养的一些特征。
借助上面的案例，我们来分析学科核心素养的特征。
首先是综合性。综合性是指数学核心素养是数学的基础知识、基本能力、基本思想等的综合体现。数学基础知识和基本能力可以看作数学核心素养的外显表现。在上面“11-20的数认识”的教学过程中，涉及数的理解、数的意义和数的表示等基础知识，学生需要理解可以用数来表示小棒的个数，不同个数的小棒用不同的数来表示。当需要表示11、12根小棒这样的数量的时候，就产生了不同的表示方法，引起学生思维上的冲突。当老师提出“用同样的两颗珠子能不能表示11”时，出现两种不同的想法，在两种想法的讨论、争论的过程中，学生的思维不断得到启发，逐步把原有的知识与方法和现在遇到的情境进行整合，形成对这个问题的新的理解与认知。这一过程是综合运用知识技能与设计方法的过程，既对所学知识有深刻的理解，又形成-可编辑修改-。了重要的数学思想。核心素养总是基于基础知识和基本能力实现的，并且外化于运用基础知识和基本能力解决问题的过程。在这个过程中，数学基本思想与学习态度等核心素养总是表现为内隐的特质。
第二是学科性。数学核心素养总是具有数学的学科属性，这种学科性与数学学科内容的特征和数学思维密切联系。数学的知识技能又蕴含与之密切相关的数学思维品质和关键能力。因此，数学核心素养总是与一个或多个学习内容有关，体现数学学科自身的特征。上面实例中的内容是数的认识，是“数与代数”领域中的核心内容，与之相关的核心素养是数感，或数学抽象。
第三是关键性。数学核心素养是学生学习过程中应达成的思维品质和关键能力。数学课程与教学的设计和实施过程，都需要学生在理解掌握知识技能的过程中，运用不同的思想、方法、技能和技巧。并不是数学学习中所有的方法和能力都能成为数学核心素养，数学核心素养是反映数学学科发展的，理解和解决一类数学问题的思想和能力，不是只适用于特定的内容和特定情境的方法。上面实例中，认识数的时候，两个两个数，五个五个数等，都是表示数的方法，在一定的情境中是适用的。而对于数的认识，通用的方法是十进制计数法。学生掌握不同数位上的数字可以表示不同的数值，不只对于理解20以内的数有价值，进一步理解更大的数同样是这样的方法。因此，学习抽象的表示数的方法对于学生来说是学习数的认识的重要思想。
第四是阶段性。在数学学习过程中形成核心素养是学生终身受用的，核心素养也是在学习的不同阶段逐渐形成的。数学核心素养的阶-可编辑修改-。段性是指核心素养表现为不同层次水平，不同学段学生的核心素养表现为不同水平。在上面的例子中，学习的内容是数的认识的开始，学生是初步建立数感，初步体验数的抽象性。在这里，数的意义和数的表示仅限于20以内的数。随着学生的年级增高，学习的数也在不断拓展，从20以内的数，到，100以内、万以内的数，进而从整数拓展到小数和分数。数的认识的内容在不断拓展，对数的抽象水平也不断提升。基本的思考方式是相同的，都是从数量抽象为数，但思维的水平在不断加深。不同数位上的数字表示不同的数的道理是一样的，在整数范围是十位、百位、千位、万位，拓展到小数就有十分位、百分位、千分位。学习分数时，数的表示方式有所不同，虽然数的表示方式已经不是十进制，不同的分数单位表示的分数大小不同，但数的表示的道理一样。数的抽象思维的方式方面，不同阶段有不同的抽象水平，反映了学生抽象思维的不同阶段。数学核心素养的水平和层次划分，是一个复杂的问题，不同的核心素养也有各自的特点。
第五是持久性。持久性是指数学核心素养是关注学生终身受益的思维品质与关键能力，不仅有助于学生对数学知识的理解与把握，还将伴随学生进一步学习，以及将来走向生活和面向社会。在上面的实例中，数感与数的抽象是学生在小学阶段认识数所需要的能力，同样在中学乃至大学也需要这样的能力。学习数学需要抽象能力，学习其他学科也同样需要抽象思维。数学学习以外的学习，以及生活与工作中遇到的现实问题，也需要抽象思维。学会抽象的思维方式，将会伴随学生的终身。这体现了这一核心素养的持久性。
-可编辑修改-。学生的数学核心素养的培养贯穿于数学教育过程的始终，正确地全面地理解数学核心素养有助于在数学教学过程中培养学生的数学核心素养，使核心素养的培养在数学学科中得到落实。具体的策略与方法需要在教学过程中不断探索和实践。
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数学核心素养及其特征分析
2014年3月，教育部发布了《关于全面深化课程改革
落实立德树人根本任务的意见》，明确提出将研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准、修订课程方案和课程标准、改进学科教学的育人功能作为落实课程改革的关键领域和主要环节[1]。学生发展核心素养的研究与讨论，成为教育界乃至社会关注的重要话题。2016年9月13日，教育部公布《中国学生发展核心素养》，正式确定学生发展核心素养的框架、维度和指标。学生发展核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力[2]。学生发展核心素养的培养要体现在学校的教育教学过程之中，而学科教育占学校教育的70%以上，是学生在学校接受教育的主要途径。数学是中小学教育的主要学科之一，如何理解数学核心素养及其与学生发展素养的关系，数学核心素养有哪些重要的特征，对于小学数学教学中理解和体现核心素养的培养有重要意义。
一、数学核心素养的理解
虽然“学生的核心素养体现跨学科、综合性的能力培养”[3]，但学生发展核心素养形成，必然要通过学科教学来实现。并且每一个学科有自身的独特价值，在培养学生核心素养方面发挥特殊的作用，数学学科更是如此。
1.数学核心素养的含意。
数学核心素养是以数学课程教学为载体，基于数学学科的知识技能而形成的重要的思维品质和关键能力。数学核心素养是在数学知识技能的学习过程中形成的，有助于学生深刻理解与掌握数学知识技能。数学核心素养不等同于数学知识技能，是高于数学的知识技能，指向于学生的一般发展，反映数学学科的本质与及其赖以形成与发展的重要思想，有助于学生终身和未来发展。数学核心素养与数学课程的目标和内容密切相关，对于理解数学内容的本质，设计数学教学，以及开展数学学习评价等，有着重要的意义和价值。
一般认为，“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的认识、理解数学在自然、社会生活中的地位的能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。[4]”数学核心素养是数学素养中最重要的思维品质和关键能力，是人们通过数学的学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所必备的品质与能力，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。人们所遇到的问题可能是数学问题，也可能不是明显的和直接的数学问题，而具备数学素养的人可以从数学的角度看待问题，用数学的思维方法思考问题，用数学的方法解决问题。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出数学教学中应特别重视的10个重要能力，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。可以把这10个重要能力理解为学生学习数学应达成的重要思维品质和关键能力。因此，把它们理解为数学核心素养是恰当的。正在修订的《普通高中数学课程标准》明确提出了6大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析[5]。可见，普通高中课程标准中确定的数学核心素养与义务教育数学课程标准中提出的10个核心素养是一脉相承的，关键要素的表达是基本一致的。
数学核心素养反映了数学的基本思想和学习数学的关键能力。史宁中认为，数学基本思想“是数学发展所依赖、所依靠的思想”。“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”[6]。数学基本思想是研究数学科学不可缺少的思想，也是学习数学，理解和掌握数学所应追求和达成的目标。可见，数学抽象、逻辑推理、数学建模反映的是数学基本思想，是核心素养中最重要的数学思维品质。另外三个方面的核心素养，数学运算、直观想象和数据分析，可以理解为学习数学的关键能力和方法。当然，思维品质和关键能力并非截然分开的，抽象、推理和建模也是学习数学的重要能力。
上述10个方面或6个方面的数学核心素养，是中小学数学教学过程中应当特别关注的，是基于数学知识技能学习过程而形成的。同时，这些素养又对学生深刻理解数学知识技能，进而体会数学学
科本质，运用数学分析和解决问题，以及学生的一般发展，都有重要作用。
2.数学核心素养与学生发展核心素养的关系。
数学核心素养与学生发展核心素养具有共同的属性，即都是核心素养，关注的都是学生深层的长远发展。核心素养关注学生一般发展，学生发展核心素养是针对学生在一个阶段的学习形成的一般发展的重要的和关键的品质和能力，如社会担当、人文底蕴、学会学习等。数学核心素养是学生学习数学的过程中形成的体现学科本质的具有一般发展属性的品质与能力。学生发展核心素养与数学核心素养二者之间有内在的联系。可以通过图1理解学生发展核心素养与数学核心素养的关系。
首先，学生发展核心素养指向学生整体的全面的发展，是学生综合素养中的核心素养。数学核心素养作为学科核心素养处于学生发展核心素养的下位，同样指向学生发展核心素养，但数学核心素养并非全部属于学生发展核心素养，学科核心素养的总和不等于学
生发展核心素养。一方面，学科教学不是学校教育的全部，学生发展核心素养并非全部由学科课程与教学完成；另一方面，学科核心素养大部分指向学生发展核心素养，但也不排除其中有一小部分只是针对学科内部的思维与能力，重点解决学科知识的理解所运用的思维品质与能力。就数学学科而言，数学核心素养中可能存在对于学科本身是重要的和关键的，而在学生的整体发展方面并非关键的核心素养。如数学中的几何直观，对于解决数学问题属于关键能力，可以作为数学的核心素养之一，但对于学生的一般发展未必是关键能力。
其次，数学课程与教学是实现学生数学核心素养的重要途径，也承担着形成学生发展核心素养的任务。数学课程与教学目标具有数学学科本身的特殊性，同时又是学生全面发展的组成部分，因此，数学课程与教学的最终目标是促进学生的发展。数学的课程设计与教学过程，既关注学生的数学核心素养的形成，又关注学生发展核心素养。数学教学过程承担着数学教育目标的实现任务，也具有发展学生的一般核心素养的功能。
再次，学生发展核心素养具有跨学科性。学校设计和组织的学科教学以外的各类活动对于学生发展核心素养发挥重要作用，但不意味着学生的核心素养一定要通过跨学科的方式实现。每一个学科都有培养学生的学科素养的任务，同样也是实现学生发展核心素养的重要载体。学生的核心素养既有跨学科性，又必须通过各学科的课程教学实现。
二、数学核心素养的特征
数学核心素养既具有学生发展核心素养的属性，也具有数学学科的属性。林崇德认为，核心素养具有六个方面的特征，“核心素养是所有学生应具有的最关键、最必要的基础素养；核心素养是知识、能力和态度等的综合表现；核心素养可以通过接受教育来形成和发展；核心素养具有发展连续性和阶段性；核心素养兼具个人价值和社会价值；学生发展核心素养是一个体系，其作用具有整合性”[7]。依据数学核心素养的特征，结合对数学核心素养的理解，数学核心素养的主要特征包括综合性、学科性、关键性、阶段性和持久性。
我们可以通过一个“数的认识”教学的实例说明数学核心素养的几个特征。
“11-20的数认识”教学片段[8]：
“11-20的数认识”是学生第一次正式学习数位与数位上的值，是学习十进制计数法的开始。虽然这个内容许多学生在学前阶段就学过，但学生是否真正理解十进制数的表示方法，学生对不同数位上的数表示不同的数值是否清楚，这关系到“数感”和数的抽象等重要的数学思想。在这节课的设计上，教师针对学生可能存在的困惑，在理解这个知识的过程中，突出了数学抽象，注重学生“数感”的形成。以下的片段就是在学生具体感受古人是如何认识数的，怎样用小木棒表示12这个数等活动的基础上，提出一个富于思考的问题，引起学生的讨论和争论。
师：孩子们，我们的故事还在继续，还记得吗？聪明的古人用1个大石头和1个小石头表示出（11），我们用一捆小棒和一根小棒也能表示出（11），但是问题来了，现在只有2颗长得像这样颜色一样、大小也一样的小珠子了，还能表示11吗？
（以下的讨论表现出学生意见不一致，有人认为能，有人认为不能，教师分别请几个代表到前边来讨论，说说自己的想法）
生1：我觉得2颗小珠子是一样大的，不能表示11，只能表示2，它就是2个，不能表示11。也可以表示20.生2：我摸的时候就像2颗，不像20。
生3：有一颗当作十位，另一颗当作个位，就可以表示11了。
生4：用一颗珠子表示10个，另一颗表示1个。
生1：2颗一样大的，就不能表示11，要是一颗大、一颗小就可以了。可是这2颗小珠子一样大呀？又不是一颗大一个小。一样大的2颗珠子，要么表示2，要么表示20，不能表示11.师：是呀，都长得一样，你怎么能让所有人都知道到底谁是10谁是1呀？
生3：在一颗珠子上写十位，在另一颗珠子上写个位，就能区分了，就可以表示11了。
师：其实刚才他的想法和数学家的想法特别像，数学家为我们制造了计数的工具，快来看（出示计数器），认识吗？
师：这叫计数器。这是数学家帮我们发明的，看看，计数器上有好多的小位子，从右边开始第一位叫“个位”，第二位叫“十位”。
师：有了“计数器”的帮助，能不能表示出11呢？我们来看一看。
师：在黑板上画计数器，然后在个位上放一颗小珠子，表示什么？
生：1个一。
师：在十位上放1颗小珠子，这可不是1个一啦！
生：这是1个十。
师：真好，1个十和1个一合起来就是11。
上面的教学片段中，学生争论的焦点在于：用2颗相同的小珠子是否可以表示11。两种观点针锋相对，能表示11和不能表示11，都能说出道理。学生在这个过程中确实认真思考，动脑筋想问题，投入到学习过程中了。最后抓住了理解这个问题的关键“在一颗珠子上写十位，在另一颗珠子上写个位”，这样就可以表示11了。这是学生对数位与不同数位上的数字可以表示不同的值的理解过程。我们从这个教学片段的分析入手，可以分析学生核心素养的一些特征。
借助上面的案例，我们来分析学科核心素养的特征。
首先是综合性。综合性是指数学核心素养是数学的基础知识、基本能力、基本思想等的综合体现。数学基础知识和基本能力可以
看作数学核心素养的外显表现。在上面“11-20的数认识”的教学过程中，涉及数的理解、数的意义和数的表示等基础知识，学生需要理解可以用数来表示小棒的个数，不同个数的小棒用不同的数来表示。当需要表示11、12根小棒这样的数量的时候，就产生了不同的表示方法，引起学生思维上的冲突。当老师提出“用同样的两颗珠子能不能表示11”时，出现两种不同的想法，在两种想法的讨论、争论的过程中，学生的思维不断得到启发，逐步把原有的知识与方法和现在遇到的情境进行整合，形成对这个问题的新的理解与认知。这一过程是综合运用知识技能与设计方法的过程，既对所学知识有深刻的理解，又形成了重要的数学思想。核心素养总是基于基础知识和基本能力实现的，并且外化于运用基础知识和基本能力解决问题的过程。在这个过程中，数学基本思想与学习态度等核心素养总是表现为内隐的特质。
第二是学科性。数学核心素养总是具有数学的学科属性，这种学科性与数学学科内容的特征和数学思维密切联系。数学的知识技能又蕴含与之密切相关的数学思维品质和关键能力。因此，数学核心素养总是与一个或多个学习内容有关，体现数学学科自身的特征。上面实例中的内容是数的认识，是“数与代数”领域中的核心内容，与之相关的核心素养是数感，或数学抽象。
第三是关键性。数学核心素养是学生学习过程中应达成的思维品质和关键能力。数学课程与教学的设计和实施过程，都需要学生在理解掌握知识技能的过程中，运用不同的思想、方法、技能和技
巧。并不是数学学习中所有的方法和能力都能成为数学核心素养，数学核心素养是反映数学学科发展的，理解和解决一类数学问题的思想和能力，不是只适用于特定的内容和特定情境的方法。上面实例中，认识数的时候，两个两个数，五个五个数等，都是表示数的方法，在一定的情境中是适用的。而对于数的认识，通用的方法是十进制计数法。学生掌握不同数位上的数字可以表示不同的数值，不只对于理解20以内的数有价值，进一步理解更大的数同样是这样的方法。因此，学习抽象的表示数的方法对于学生来说是学习数的认识的重要思想。
第四是阶段性。在数学学习过程中形成核心素养是学生终身受用的，核心素养也是在学习的不同阶段逐渐形成的。数学核心素养的阶段性是指核心素养表现为不同层次水平，不同学段学生的核心素养表现为不同水平。在上面的例子中，学习的内容是数的认识的开始，学生是初步建立数感，初步体验数的抽象性。在这里，数的意义和数的表示仅限于20以内的数。随着学生的年级增高，学习的数也在不断拓展，从20以内的数，到，100以内、万以内的数，进而从整数拓展到小数和分数。数的认识的内容在不断拓展，对数的抽象水平也不断提升。基本的思考方式是相同的，都是从数量抽象为数，但思维的水平在不断加深。不同数位上的数字表示不同的数的道理是一样的，在整数范围是十位、百位、千位、万位，拓展到小数就有十分位、百分位、千分位。学习分数时，数的表示方式有所不同，虽然数的表示方式已经不是十进制，不同的分数单位表示
的分数大小不同，但数的表示的道理一样。数的抽象思维的方式方面，不同阶段有不同的抽象水平，反映了学生抽象思维的不同阶段。数学核心素养的水平和层次划分，是一个复杂的问题，不同的核心素养也有各自的特点。
第五是持久性。持久性是指数学核心素养是关注学生终身受益的思维品质与关键能力，不仅有助于学生对数学知识的理解与把握，还将伴随学生进一步学习，以及将来走向生活和面向社会。在上面的实例中，数感与数的抽象是学生在小学阶段认识数所需要的能力，同样在中学乃至大学也需要这样的能力。学习数学需要抽象能力，学习其他学科也同样需要抽象思维。数学学习以外的学习，以及生活与工作中遇到的现实问题，也需要抽象思维。学会抽象的思维方式，将会伴随学生的终身。这体现了这一核心素养的持久性。
学生的数学核心素养的培养贯穿于数学教育过程的始终，正确地全面地理解数学核心素养有助于在数学教学过程中培养学生的数学核心素养，使核心素养的培养在数学学科中得到落实。具体的策略与方法需要在教学过程中不断探索和实践。
数学核心素养
Thefollowingtextisamendedon12November2020.
什么是数学核心素养
一、张奠宙：数学核心素养包括“真、善、美”三个维度。
通俗地说，数学的核心素养有“真、善、美”三个维度：
(1)理解理性数学文明的文化价值，体会数学真理的严谨性、精确性；
(2)具备用数学思想方法分析和解决实际问题的基本能力；
(3)能够欣赏数学智慧之美，喜欢数学，热爱数学。
不妨就一个人文学科的学者（例如从事新闻、出版、法律、外语、中文、历史等专业）来说，他们的数学素养也许就是在高中学段形成的（到大学不学数学了）。对他们来说，在数学能力上要求不可过高，但是却必须具备现代的数学文化修养，能够欣赏数学美，理解数学文明，以便在记者采访、外语翻译、小说创作、历史考察等的职业生涯中，能够应对许多与数学文化有关的常识性问题，并与他人进行基本的数学交流与探究。
二、义务教育数学核心素养反映数学本质与数学思想
数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力。核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、整体性和持久性。数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，对于理解数学学科本质，设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义和价值。
一般认为，“素养与知识（或认知）、能力（或技能）、态度（或情意）等概念的不同在于，它强调知识、能力、态度的统整，超越了长期以来知识与能力二元对立的思维方式，凸显了情感、态度、价值观的重要，强调了人的反省思考及行动与学习。”“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的公民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。”可见，数学素养是人们通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。人们所遇到的问题可以是数学问题，也可能不是明显的和直接的数学问题，而具备数学素养可以从数学的角度看待问题，可以用数学的思维方法思考问题，可以用数学的方法解决问题。
比如，人们在超市购物时常常发现这样的情境，收银台前排了长长的队等待结账，而只买一两样东西的人也同样和买一车东西的人排队等候。有位数学家马上想到，能否考虑给买东西少的人单独设一个出口，这样可以免去这些人长时间的等候，会大大提高效率。那么问题就出现了，什么叫买东西少，1件、2件、3件或4件，上限是多少因此，会想到用统计的方法，收集不同时段买不同件数东西人的数量，用这个数据可以帮助人们做出判断。在这个过程中，具有数感的人会有意识地把一些事情与数和数量建立起联系，认识到排队结账这件事中有数学问题，人们买东西的数量（个数）与结账的速度有关系。
从这个例子中可以了解到，具备数学素养可能有助于人们在具体的情境中发现问题、提出问题和解决问题。而这个情境本身可能并非有明显的数学问题。
摘要：在国家教委制订的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》中，第一次使用了“数学素养”一词，成为全国中学数学教师的热门话题之一。数学素养是人所必备的素养。人们在社会活动中，逐渐积累着对于数量关系和空间形式的认识，没有这种素养，人类就不会记数，不会排序，不会测量，不会分配，社会也就不可能发展，也就没有现代社会的物质文明和精神文明。
关键词：初中数学；数学教学；数学素养
把“数学素养”教育贯彻于数学教学之中，使数学教学能为提高学生的整体素质服务是当前数学教学改革的中心议题，是摆在我们广大数学教师面前的一项极为迫切的任务。本文拟就初中教学中实施数学素养教育的问题谈几点粗浅的认识。
数学图形是物质世界和人类文化相结合的一种完善形式。数学语言是全人类共同使用并可以传授给机器人的一种交流手段。数学是思维的体操，思维是数学的灵魂，在运用数学思想、数学方法去思考和解决问题的过程中，培养着人的辩证唯物主义的世界观和严谨的科学态度。提高学生的数学素养，需从以下几方面努力：
一、面向全体学生
学生是课堂的主人，他们有活动实践的天性和创造成功的欲望。最大限度地发挥学生的潜能是课堂教学的灵魂。重视学生的参与性和实践性，让学生共同参与，通过自身的实践活动，去领悟，去解决问题，有助于知识的透彻理解。把竞赛式教学方法引入数学课堂，也能产生非同凡响的效果，它打破了传统教学中师传生受的教学旧框架，变被动参与为主动参与，极大地激发了学生的热情和学习兴趣。
在素质教育实施的过程中，要求初中数学的教学要以学生为主导，将课堂还给学生，教师只能是课堂的组织者、引导者。但在实际的教学中，教师很难做到，因为现在的学生素质参差不齐，优秀的学生独立完成或相互讨论是能够完成课堂的探索，但基础较差的后进生很难独立完成课堂的探究过程，甚至在分组合作时也是一言不发，基本不参与课堂的讨论，有的后进生学习习惯较差，在课堂讨论时不但不参与讨论，反而借课堂气氛活跃，教师没注意时，在下面搞小动作或是与其他同学讨论与学习无关的事。
二、突出基本的数学思想和数学方法
教师不能再用传统的老模式，采用“满堂灌”“满堂问”“磨时间”等一些旧的思想观念。新时代的教师应该追求一些新的教学意识，让学生由被动学习走向勤奋学习，逐步学会自主合作探究学习等，现在的教师应该教授学生获取新知识的方法，“授人以鱼，不如授人以渔。”应该教会学生自己学习的方法，让他们能够不在教师教授的情况下就能做到自主学习。
教师课前都要备课，以前备知识，自己备自己的，很少去交流。所以思想就比较闭塞，教授方法也比较单调。但是大家互相交流分享的话，备课就比较全面，所涉及的问题考虑也会周全，这有助于设计方案的科学化，使课堂能够更加有效，提高课堂质量。
要相信学生，不仅要关心学生的行为投入，还要关心学生的认知和情感投入。在教学方法的选择上，师生应善于学会选择最适合自己的教法或学法。只有引导学生实现由“学会”到“会学”，主体地位才有可能得到张扬、主题精神才能得到体现。我们应根据本班学生的实际情况，运用各种各样的教学方法，真正调动学生的学习
兴趣，提高课堂效率。教师要善于激发学生的学习兴趣，要努力缩短学生与教师，学生与教材内容的距离，使他们从心底爱上音乐课。还应该充分利用教材、图片、实物及学生情感体验来发展学生的思维，增加学生的想象力。能从视觉、听觉等多方面吸引学生，让学生在积极、愉快、轻松的环境中运用和巩固所学的知识，最终完成知识向能力的转化。
三、抓住培养思维能力这一数学教学的核心
美国心理学家布鲁纳曾说：“学习的最好动力是对学习材料的兴趣。”因此要想学生学有所得，教师就要努力培养学生的学习兴趣，培养学生终身学习的观念。某些学生不想学习或讨厌学习，是因为他们觉得学习枯燥无味，认为学习数学就是把那些公式、定理、法则和解题规律记熟，然后反反复复地做题。新教材的内容编排切实体现了数学来源于生活又服务于生活的思想，通过我们生活中的数学问题或身边的数学事例总结数学中知识的发展与形成过程。在数学教学过程中，我们通过教材列举与生活相关的题材和图表不断培养学生的数学学习兴趣。我们还要使学生先对数学产生浓厚的兴趣，感受、体验和表现数学中丰富的情感内涵非常重要。学生只有在课堂上动起来，课堂才会有气氛，学生才会逐渐喜欢数学，从而才能对数学有更深一步的了解。要积极引导学生，从而使学生不仅做到现在受益，而且做到终身受益。
总之，教学过程是教学方法不断提高的过程，是学生在课堂中主体活动的过程，在教学中，教师要善于营造良好的学习氛围，激发学生的求知欲望，创造条件让学生充分参与学习活动，发挥学生自主能动性，要注意学生的学法指导，培养学生自主
获取知识的能力，使学生“会学”，只有这样，学生的自身素质才能得以提高，才能让学生获取主动的发展。
中国学生数学学习应培养好六大核心素养
11月6日下午，浙江省基础教育研究中心基地校数学学科课程纲要建设推进研讨会主办者，请来了教育部《普通高中数学课程标准》修订组组长、博士生导师王尚志教授作了“关于普通高中数学课程标准修订”的专题报告，提出中国学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养。
这个报告内容新鲜深刻，昭示了高中数学课程进一步改革的思想，也映射出整个高中课程改革的发展方向，有着极其重要的意义。
王尚志教授首先介绍了高中数学课程修订的三大背景：即科学技术迅猛发展，21世纪对人才基本能力的要求，教育的深入发展逐步建立法制化、制度化的标志。他阐述了高中课程修订的思路，切入点为国家教育立德树人工程；这一工程要求落实到从幼儿园到研究生的所有课程中。而且，高中课程的修订作为了突破口。
王教授指出，1962年的大纲提出了运算、空间想象、逻辑推理三大能力；本世纪初的高中数学的课改大纲发展为抽象概括、逻辑推理、空间想象、运算求解、数据处理五大能力。而数学建模目前仍然是短板。短板应当补齐。数学建模强调应用。数学有对思维训练、实用价值以及备考训练的三大作用。数学对思维的训练，主要是演绎与归纳的逻辑推理能力。近代统计学的发展促进了对归纳推理的发展。演绎在高中乃至整个基础教育阶段的数学学习中的展现形式就是运算。直观想象非常重
要。证明的思路是看出来的，要教育学生学会用图形来探测与表达结果。高中数学教育的现状要继续改革发展。小学、初中的数学教育也要贯彻课改精神，做好过渡。
怎样提高高中学生的数学能力王教授指出，必修课程要减少。要给学生充分的自修与钻研时间。学有余力者让他们先修大学课程。加拿大等教育先进的国家，高中生已经达到大二水平。而且都是自学的。中国高中数学教学大量刷题练速度的风气要扭转过来。教师的思路要开，胸怀要大。数学教学中不要无原则地搞一题多解。
数学高考要延长考试时间，或者减少题量。考试要着眼于能力，不能变成考技巧。让平时拼命刷题、反复复习、机械操练的考生占不了便宜。高考出的题目要有弹性，要出一些背景题。要进一步减少选择题。增加点阅卷成本，为了真正培养好学生，也是值得的。再说，数学运算题、背景题的阅卷再烦，也烦不过语文考试的作文题。修订组向浙江省考试院提出建议，得到认可。王教授说，我们通过调查研究，形成共同声音，帮助领导科学决策。我们的意见和建议，教育部部长也认同了，以后不设考纲，高考以课标为标准。
王教授举了一个发人深省的例子：有一所“985”高校，学生的高考数学平均分在125以上，入学后的10月份组织学生做过的高考题目的考试，平均分降到100；到同一年的12月再考一次同样的题目，平均分只有及格。这说明很多题目学生做过就忘了。考那样的题目，高中那样的教法，没有多大积极意义。高考制度与高中课程的改革，要给学生脱颖而出的机会与条件。我们可以通过数学建模等形式，让学生的才华呈现出来。以后高校录取不会斤斤计较一分两分，要着眼于学生的核心素养。
数学核心素养的五大特征
佚
名
【期刊名称】《广西教育》
【年(卷),期】2017(0)12【摘
要】东北师范大学教育科学学院教授马云鹏在《小学数学》（教学版）第1期上撰文认为，数学核心素养既具有学生发展核心素养的属性，又具有数学学科的属性，结合对数学核心素养内涵的理解和分析，数学核心素养具有以下五大特征：一是综合性，即数学核心素养是数学的基础知识、基本能力、基本思想等的综合体现；
【总页数】1页(P60-60)
【关键词】小学数学;素养;教育科学学院;东北师范大学;学生发展;数学学科;基础知识;基本能力
【正文语种】中
文
【中图分类】G623.5【相关文献】
1.核心素养理念下的数学教学实践——“用样本的数字特征估计总体的数字特征”课堂实录[J],刘子丽;幸世强
2.初中数学提升学生核心素养的五大"追求"[J],陈琦
3.核心素养视域下数学试题的问题特征比较研究——以2012年PISA测评样题与北京、上海两地近五年中考数学试题为例[J],陈坤;4.聚焦数学核心素养——数学素养的由来与本质特征[J],孙晓天;
5.基于数学核心素养下的统计教学研究——“用样本的数字特征估计总体的数字特征”教学设计[J],陈纪刚
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数学学科核心素养
1、概念：
学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的数学思维品质与关键能力。
2、课程目标与核心素养——核心素养立意
?四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；
?四能：提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；
?用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界；
?两种意识：应用意识及创新意识。
3、核心素养整体性：基本关系
数学抽象---直观想象----逻辑推理---数学建模
||||
数学运算
数据分析
4、核心素养基本内容
学科核心素养是有人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力，数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。
（1）数学抽象
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。
数学抽主要表现为获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与休系。
通过高中数学课程的学习，学生能在情境中提出数学概念、方法和体系，积累从具体到抽的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，运用数学抽象的因维方式思考并解决问题。
用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界
高中毕业水平：
?能够在若干具体情境中直接抽象出数学概念和规则；能够在特例的基础上归纳出数学规律并形成数学命题；能够在新的情境中模仿学过的数学方法解决问题。（问题与情境）
?能够用恰当的事例解释抽象的数学概念和规则；能够分析数学命题的条件与结论；能够在具体的情境中抽象出数学问题。（知识与技能）
?能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证；能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想。（思维与表达）
?在交流的过程中，能够用恰当的例子解释抽象概念。（交流与反思）
高考水平：
?能够在若干数学情境中抽象出一般的数学概念和规则；能够将已知数学命题推广到更一般的情形；能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题。（问题与情境）
?能够从多个角度理解数学概念、规则和命题；能够运用多种形式表示数学命题的条件与结论，并建立相关命题的联系；能够理解和构建相关数学知识之间的联系。（知识与技能）
?能够用准确的数学语言表达学过的数学概念、规则、命题与模型；能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学思想。（思维与表达）
?在交流的过程中，能够用一般的概念解释具体现象。（交流与反思）
拓展水平：
?能够在科学情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予以表达；能够在数学结论基础上形成新命题；能够创造或灵活运用数学方法解决问题。（问题与情境）
?能够通过数学对象及其运算或关系理解数学的抽象结构；能够理解数学结论的一般性；能够感悟高度概括、有序多级的数学知识体系。（知识与技能）
?在现实问题中，能够把握研究对象的数学特征，并用准确的数学语言予以表达；能够感悟通性通法背后的数学原理和其中蕴含的数学思想。（思维与表达）
?在交流的过程中，能够用数学原理解释自然现象和社会现象。（交流与反思）
2.逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维。
逻辑推理主要表现为:掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命題体系，有逻辑地表达与交流。
通过高中数学课程的学习，学生能掌提逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题，能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络形成里论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力。
高中毕业水平：
?能够在生活情境中，发现数量或图形方面的规律性，用归纳或类比提出数学命题。
?能够在具体的数学内容中，判断什么是归纳、类比推理，什么是演绎推理；知道归纳、类比是或然性推理，演绎推理是必然性推理。
?能够通过实例理解演绎推理的多种形式和相应的推理规则。对于给定的与学过知识有较强关联的数学命题，能够运用学过的方法探究条件与结论的逻辑关系，证明或者证否命题，并能有条理地表述论证过程。
?能够了解相关概念、命题、定理之间的逻辑关系。
能够在交流过程中，明确所讨论问题的主题，有条理地表达观点。
高考水平：
?能够在实际情境和数学情境中，发现蕴含的数学规律，提出有价值的数学问题，并予以数学表达。能够理解归纳、类比是发现和提出数学命题的重要途径。
?理解分析法、综合法、反证法、数学归纳法、举反例等论证方法。
?对于给定的与学过知识有一些关联的数学命题，能够探索论证的思路，选择合适的论证方法予以证明或者证否，并能用准确的数学语言表述论证过程。
?能够理解各个教学模块中概念、命题、定理之间的逻辑关系，初步建立网状的知识结构。
?能够在交流的过程中，围绕讨论问题的主题，观点明确，有理有据。
拓展水平:
?能够在现实情境与科学情境中，用数学的眼光找到合适的研究对象，发现研究对象间较本质的数学联系，深入思考，提出有价值的数学问题。
?能够理解常用演绎推理方法、规则的原理和思想。
?对于条件不全的数学问题，能够提出不同的假设前提，多方探究，推断结论，得出新的数学命题。对于较复杂的数学问题，能够借鉴学过的论证思路，通过构建过渡性命题，探索论证的途径，解决问题，并会用形式化的数学语言严谨表达论证过程。
?能够理解建构数学体系的公理化思想。
?能够合理地运用数学语言和思想进行跨学科的表达与交流。
3.数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言发现问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算水解。检验结果，改进模型，最终解决实际问题。
数学模型搭建了数学与外都世界联系的桥梁，是数学应用的要形式。数学建模是应用数学解快实际问的基本手段，也是推动数学发展的动力。
数学建模主要表现为，发现和提出问题，建立和水钢模型，检验和完持模型，分析和解决问题。
通过高中数学课程的学习，学生能有识地用数学语言表达现实世界。发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验认识数学校模型在科学、社会、工程技术请多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。
高中毕业水平:?能够了解学过的数学模型的实际青景；能能作简单实际情境中发现问题，能够在实际情境中提出简单的数学模型。
?能够了解学过的数学模型的实际意义，在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程，建立并求解模型。
?结合简单实例，能够了解数学建模的个过程：提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型；能够说明数学建模的过程，解释结论。
?在交流的过程中，能够结合具体的数学建模案例表达结果。
高考水平:?能够理解数学模型的实际背景;能够在实际情境中，发现问题，转化为数学问题，并理解其数学内涵。
?能够理解数学模型的实际意义和应用范围;能够在给定的实际情境中，通过分析，选择、运用数学知识建立并求解模型。
?能够理解数学建模的全过程:提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型。能够运用数学语言，表达数学建模过程中的问题以及解决间题的过程和结果，形成简单的研究报告。
?在交流的过程中，能够完整的表达数学建模的过程和意义。
拓展水平:?能够在科学和社会情境中，运用数学思维进行分析，发现情境中的数学关系，提出数学问题。
?能够在科学和社会情境中，综合运用数学建模的一般方法和相关知识，建立数学模型，解决问题。
?能够运用数学建模的思想方法，创新地解决实际问题，能够运用数学语言，清晰准确的表达数学建模的过程和结果，形成研究论文。
?在交流的过程中，能够通过数学处模的结论闸释科学规律和社会现象。
4.直观想象
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括:借助空间形式认识事物的位置关系、形状变化与运动规律；利用图形描述，分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。
直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路，进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。
直观想象主要表现为，建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间相象认识事物。
通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力，增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识，形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质。
高中毕业水平:?能够在具体情境中，建立实物的几何图形，体会图形与图形、图形与数量的关系，休会图形的运动规律。
?在具体的数学情境中，能够借助图形性质发现数学规律；能够描述简单图形的位置关系和度量关系及其特有性质。
?在具体的数学情境中，能够通过直观理解数学问题；能够用图形描述和表达数学问题，启迪解决问题的思路。
?能够利用图形的直观进行交流。
高考水平:?能够在实际和数学情境中，想象并构建相应的几何图形，借助图形提出数学问题，发现图形与图形、图形与数量的关系，探索图形的运动规律。
?能够掌握研究图形与图形、图形与数量关系的基本方法；能够借助图形性质探索数学规律；能够通过计算、分析、论证，解决实际问题或数学问题。
?能够通过想象提出数学问题;能够用图形探索解决问题的思路。
?在交流的过程中，能够利用直观想象探讨数学问题。
拓展水平:?能够在科学情境中，借助图形，通过想象提出数学问题，构建数学模型。
?能够综合利用图形与图形、图形与数量关系，建立数学各分支之间的联系；能够借助直观想象处立数学与其它学科的联系，并形成理论休系的直想模型。
?能够通过想象对复尔的数学问题进行直观长达，反应数学问题的本质，形成仰火间题的思路。
?在交流的过程中，能够利用直观想象探讨科学问题的本质及其与数学的联系。
5.数学运算
数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。
数学运算是解决数学问题的基本手段。数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础。
数学运算主要表现为理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。
通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力，有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
高中毕业水平:
?能够在简单的数学情境中理解运算对象，提出运算问题，建立运算关系。
?能够理解运算法则的背景和适用范围，掌握基本的运算法则，根据数学问题特征选择合适的运算法则，解决问题。
?在运算过程中，能够体会运算法则的意义和作用；能够运用运算验证数学结论。
?在交流的过程中，用运算的结果说明问题。
高考水平:
?能够在数学情境中明晰运算对象，提出运算问题，探究运算的方向和目标。
?能够针对运算问题，正确分析运算条件、确定运算方向；能够合理选择运算方法、设计运算程序，综合利用运算法则解决问题。
?能够在综合利用运算法则解决问题的过程中理解运算法则的意义和作用。
?交流的过程中，用运算的方法解释问题。
拓展水平:
?在科学和社会情境中。能够发现运算问题，确定运算对象和运算法则，明确运算方向。
?能够将有关数学问题转化为运算问题；能够对运算问题，合理构造运算程序，并以此为基础建立解决问题模式。
?能够用运算程序化的思想解决问题；能够休会it算机解决问题的思想。
?在交流的过程中，用运算的方法探讨问题。
6.数据分析
数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养。数据分析过程主要包括:收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论。
数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网+”相关领城的主要数学方法，数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面。
数据分析主要表现为，收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识。
通过高中数学课程的学习，学生能提升获取有价值信就并进行定量分析的意识和能力，适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识本物的思维品质；积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。
高中毕业水平:
?能够结合具体情境，识别随机现象，提出概率模型和统计问题；能够在新的情境中模仿学过的概率统计方法解决问题。
?能够对给定的实际情境，运用简单概率模型解决简单的问题；能够理解数据收集、表示和分析数据的基本方法。
?能够结合具体案例，理解统计概率的作用和意义，用统计和概率的语言表达简单的随机现象，体会
其中的随机思想。
?在交流的过程中，能够用统计图表和简单概率模型解释日常生活中的随机现象。
高考水平:
?能够在生活情境中，识别随机现象和统计间题；能够结合具休随机现象，提出适当的概率和统计模型；能够在新的情境中选择、运用概率统计方法解决问题。
?能够选择概率模型刻画随机现象，运用概率模型解决随机问题；能够掌握统计建模的基本方法，并针对具体情境选择合适的统计模型解决问题。
?能够用统计概率的思维来分析随机现象，结合具休案例，理解统计概率结论的意义；能够用统计概率模型来表达随机现象的统计规律。
?在交流的过程中，能够用数据呈现的规律解释随机现象。
拓展水平:
?能够在科学和社会情境中，发现与探索随机问题；能够选择适当的概率和统计模型描述创题；能够任新的情境中综合运川概率统计方法解决问题。
?能够针对不同的随机现象，综合运用统计概率知识构造相应的统计概率模型，解决问题，发现统计规律，形成知识。
?能够运用的方法，探索随机现象的统计规律；能够运用统计概率的语言，科学地衣达统计规律探索的过程和结果。
?在交流的过程中，能够用统计概率模型解释随机现象规律。
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数学核心素养及其特征分析
落实立德月，教育部发布了《关于全面深化课程改革2014年3明确提出将研究制订学生发展核心素养体系树人根本任务的意见》，改进学科教学的育人功修订课程方案和课程标准、和学业质量标准、。学生发展核心素养[1]能作为落实课程改革的关键领域和主要环节月92016年的研究与讨论，成为教育界乃至社会关注的重要话题。日，教育部公布《中国学生发展核心素养》，正式确定学生发展13学生发展核心素养是学生在接受相应维度和指标。核心素养的框架、逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的学段的教育过程中，。学生发展核心素养的培养要体现在学校的必备品格和关键能力[2]以上，是学生在学教育教学过程之中，而学科教育占学校教育的70%如何理数学是中小学教育的主要学科之一，校接受教育的主要途径。数学核心素养有哪些重解数学核心素养及其与学生发展素养的关系，对于小学数学教学中理解和体现核心素养的培养有重要意要的特征，义。
一、数学核心素养的理解虽然“学生的核心素养体现跨学科、综合性的能力培养”[3]，并且每一个必然要通过学科教学来实现。但学生发展核心素养形成，学科有自身的独特价值，在培养学生核心素养方面发挥特殊的作用，数学学科更是如此。1.数学核心素养的含意。".
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基于数学学科的知识技数学核心素养是以数学课程教学为载体，数学核心素养是在数学知识能而形成的重要的思维品质和关键能力。有助于学生深刻理解与掌握数学知识技能。技能的学习过程中形成的，指向是高于数学的知识技能，数学核心素养不等同于数学知识技能，反映数学学科的本质与及其赖以形成与发展的重于学生的一般发展，数学核心素养与数学课程的目有助于学生终身和未来发展。要思想，标和内容密切相关，对于理解数学内容的本质，设计数学教学，以及
开展数学学习评价等，有着重要的意义和价值。“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一般认为，一个会关心、会思考的市民的需要而具备的认识、理解数学在自然、以及参与数学活动社会生活中的地位的能力，做出数学判断的能力，的能力。[4]”数学核心素养是数学素养中最重要的思维品质和关键理解和处理周围事物能力，是人们通过数学的学习建立起来的认识、通常是在人们与周围环境产生相互作用时所时所必备的品质与能力，人们所遇到的问题可能是数表现出来的思考方式和解决问题的策略。而具备数学素养的人也可能不是明显的和直接的数学问题，学问题，用数学的可以从数学的角度看待问题，用数学的思维方法思考问题，方法解决问题。年版）》明确提出数学教学中2011《义务教育数学课程标准（个重要能力，即数感、符号意识、空间观念、几何应特别重视的10直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和个重要能力理解为学生学习数学应达成的重创新意识。可以把这10".
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把它们理解为数学核心素养是恰当的。要思维品质和关键能力。因此，大核心素养，即正在修订的《普通高中数学课程标准》明确提出了6。数学运算和数据分析[5]逻辑推理、数学建模、直观想象、数学抽象、普通高中课程标准中确定的数学核心素养与义务教育数学课程可见，个核心素养是一脉相承的，关键要素的表达是基本10标准中提出的一致的。史数学核心素养反映了数学的基本思想和学习数学的关键能力。“数所依靠的思想”。宁中认为，数学基本思想“是数学发展所依赖、学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”[6]。数学基本思想是研究数学科学不可缺少的思想，也是学习数学，理解和掌握数学所应追求和达成的目标。可见，数学抽象、逻是核心素养中最重要的数辑推理、数学建模反映的是数学基本思想，学思维品质。另外三个方面的核心素养，数学运算、直观想象和数据分析，可以理解为学习数学的关键能力和方法。当然，思维品质和关
推理和建模也是学习数学的重要能力。键能力并非截然分开的，抽象、个方面的数学核心素养，是中小学数学教学610个方面或上述同过程中应当特别关注的，是基于数学知识技能学习过程而形成的。进而体会数学学科本这些素养又对学生深刻理解数学知识技能，时，以及学生的一般发展，都有重要作用。运用数学分析和解决问题，质，2.
数学核心素养与学生发展核心素养的关系。".
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即都是核心数学核心素养与学生发展核心素养具有共同的属性，核心素养关注学生一般发展，关注的都是学生深层的长远发展。素养，学生发展核心素养是针对学生在一个阶段的学习形成的一般发展的重要的和关键的品质和能力，如社会担当、人文底蕴、学会学习等。数学核心素养是学生学习数学的过程中形成的体现学科本质的具有学生发展核心素养与数学核心素养二者一般发展属性的品质与能力。理解学生发展核心素养与数学核心1可以通过图之间有内在的联系。
素养的关系。
是学生综学生发展核心素养指向学生整体的全面的发展，首先，数学核心素养作为学科核心素养处于学生发展合素养中的核心素养。但数学核心素养并非核心素养的下位，同样指向学生发展核心素养，学科核心素养的总和不等于学生发展核全部属于学生发展核心素养，学科教学不是学校教育的全部，学生发展核心素养心素养。一方面，学科核心素养大部分指另一方面，并非全部由学科课程与教学完成；但也
不排除其中有一小部分只是针对学科内部向学生发展核心素养，".
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的思维与能力，重点解决学科知识的理解所运用的思维品质与能力。数学核心素养中可能存在对于学科本身是重要的和就数学学科而言，如数学中的而在学生的整体发展方面并非关键的核心素养。关键的，可以作为数学的核心素对于解决数学问题属于关键能力，几何直观，养之一，但对于学生的一般发展未必是关键能力。也数学课程与教学是实现学生数学核心素养的重要途径，其次，数学课程与教学目标具有数学承担着形成学生发展核心素养的任务。学科本身的特殊性，同时又是学生全面发展的组成部分，因此，数学数学的课程设计与教学过课程与教学的最终目标是促进学生的发展。程，既关注学生的数学核心素养的形成，又关注学生发展核心素养。也具有发展学生的一数学教学过程承担着数学教育目标的实现任务，般核心素养的功能。学校设计和组织的学科学生发展核心素养具有跨学科性。再次，但不意味教学以外的各类活动对于学生发展核心素养发挥重要作用，每一个学科都有培着学生的核心素养一定要通过跨学科的方式实现。同样也是实现学生发展核心素养的重要载养学生的学科素养的任务，又必须通过各学科的课程教学实学生的核心素养既有跨学科性，体。
现。
二、数学核心素养的特征也具有数学学科数学核心素养既具有学生发展核心素养的属性，的属性。林崇德认为，核心素养具有六个方面的特征，“核心素养是所有学生应具有的最关键、最必要的基础素养；
核心素养是知识、能".
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力和态度等的综合表现；核心素养可以通过接受教育来形成和发展；核心素养兼具个人价值和社会价核心素养具有发展连续性和阶段性；值；学生发展核心素养是一个体系，其作用具有整合性”[7]。依据数学核心素养的数学核心素养的特征，结合对数学核心素养的理解，主要特征包括综合性、学科性、关键性、阶段性和持久性。我们可以通过一个“数的认识”教学的实例说明数学核心素养
的几个特征。
：-20的数认识”教学片段[8]“11的数认识”是学生第一次正式学习数位与数位上的值，-20“11虽然这个内容许多学生在学前阶段就学是学习十进制计数法的开始。学生对不同数位上的但学生是否真正理解十进制数的表示方法，过，这关系到“数感”和数的抽象等重要的数表示不同的数值是否清楚，数学思想。在这节课的设计上，教师针对学生可能存在的困惑，在理解这个知识的过程中，突出了数学抽象，注重学生“数感”的形成。怎样用小木棒以下的片段就是在学生具体感受古人是如何认识数的，这个数等活动的基础上，提出一个富于思考的问题，引起学表示12生的讨论和争论。1师：孩子们，我们的故事还在继续，还记得吗？聪明的古人用），我们用一捆小棒和一根小棒也111个小石头表示出（个大石头和颗长得像这样颜色一样、现在只有但是问题来了，2，11能表示出（）11大小也一样的小珠子了，还能表示吗？".
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有人认为不（以下的讨论表现出学生意见不一致，有人认为能，能，教师分别请几个代表到前边来讨论，说说自己的想法），211，只能表示1：我觉得2颗小珠子是一样大的，不能表示生20.。也可以表示2个，不能表示11它就是
。颗，不像20生2：我摸的时候就像2了。：有一颗当作十位，另一颗当作个位，就可以表示11生31个。4：用一颗珠子表示10个，另一颗表示生，要是一颗大、一颗小就可颗一样大的，就不能表示111：2生一样大的颗小珠子一样大呀？又不是一颗大一个小。以了。可是这211.，不能表示2，要么表示202颗珠子，要么表示10师：是呀，都长得一样，你怎么能让所有人都知道到底谁是
呀？谁是1：在一颗珠子上写十位，在另一颗珠子上写个位，就能区分生311了。了，就可以表示数学家为我们制其实刚才他的想法和数学家的想法特别像，师：
造了计数的工具，快来看（出示计数器），认识吗？师：这叫计数器。这是数学家帮我们发明的，看看，计数器上有
好多的小位子，从右边开始第一位叫“个位”，第二位叫“十位”。呢？我们来看一师：有了“计数器”的帮助，能不能表示出11看。
然后在个位上放一颗小珠子，在黑板上画计数器，表示什么？师：1生：个一。".
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个一啦！颗小珠子，这可不是1师：在十位上放1个十。生：这是
111。1师：真好，个十和1个一合起来就是颗相同的小珠子用2上面的教学片段中，学生争论的焦点在于：，都11和不能表示11。两种观点针锋相对，能表示11是否可以表示能说出道理。学生在这个过程中确实认真思考，动脑筋想问题，投入最后抓住了理解这个问题的关键“在一颗珠子上写到学习过程中了。了。这是学生11十位，在另一颗珠子上写个位”，这样就可以表示我们从这对数位与不同数位上的数字可以表示不同的值的理解过程。
个教学片段的分析入手，可以分析学生核心素养的一些特征。
借助上面的案例，我们来分析学科核心素养的特征。基综合性是指数学核心素养是数学的基础知识、首先是综合性。数学基础知识和基本能力可以看作本能力、基本思想等的综合体现。的数认识”的教学过程中，在上面“11-20数学核心素养的外显表现。学生需要理解可以数的意义和数的表示等基础知识，涉及数的理解、当需要不同个数的小棒用不同的数来表示。用数来表示小棒的个数，根小棒这样的数量的时候，就产生了不同的表示方法，、1211表示当老师提出“用同样的两颗珠子能不能表示引起学生思维上的冲突。11”时，出现两种不同的想法，在两种想法的讨论、争论的过程中，逐步把原有的知识与方法和现在遇到的情学生的思维不断得到启发，这一过程是综合运境进行整合，形成对这个问题的新的理解与认知。又形成用知识技能与设计方法的过程，既对所学知识有深刻的理解，".
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了重要的数学思想。核心素养总是基于基础知识和基本能力实现的，在这个过程中，并且外化于运用基础知识和基本能力解决问题的过程。
数学基本思想与学习态度等核心素养总是表现为内隐的特质。这种学数学核心素养总是具有数学的学科属性，第二是学科性。数学的知识技能又科性与数学学科内容的特征和数学思维密切联系。数学核心素养因此，蕴含与之密切相关的数学思维品质和关键能力。上面实体现数学学科自身的特征。总是与一个或多个学习内容有关，与之相例中的内容是数的认识，是“数与代数”领域中的核心内容，关的核心素养是数感，或数学抽象。数学核心素养是学生学习过程中应达成的思维品第三是关键性。都需要学生在理质和关键能力。数学课程与教学的设计和实施过程，解掌握知识技能的过程中，运用不同的思想、方法、技能和技巧。并数学核心不是数学学习中所有的方法和能力都能成为数学核心素养，理解和解决一类数学问题的思想和能力，素养是反映数学学科发展的，认识数的上面实例中，不是只适用于特定的内容和特定情境的方法。时候，两个两个数，五个五个数等，都是表示数的方法，在一定的情境中是适用的。而对于数的认识，通用的方法是十进制计数法。学生以内20掌握不同数位上的数字可以表示不同的数值，不只对于理解的数有价值，进一步理解更大的数同样是这样的方法。因此，学习抽
象的表示数的方法对于学生来说是学习数的认识的重要思想。在数学学习过程中形成核心素养是学生终身受用第四是阶段性。数学核心素养的阶的，核心素养也是在学习的不同阶段逐渐形成的。".
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不同学段学生的核心素养表段性是指核心素养表现为不同层次水平，现为不同水平。在上面的例子中，学习的内容是数的认识的开始，学生是初步建立数感，初步体验数的抽象性。在这里，数的意义和数的以内的数。随着学生的年级增高，学习的数也在不断20表示仅限于以内、万以内的数，进而从整数拓100拓展，从20以内的数，到，对数的抽象水平也不数的认识的内容在不断拓展，展到小数和分数。断提升。基本的思考方式是相同的，都是从数量抽象为数，但思维的水平在不断加深。不同数位上的数字表示不同的数的道理是一样的，在整数范围是十位、百位、千位、万位，拓展到小数就有十分位、百分位、千分位。学习分数时，数的表示方式有所不同，虽然数的表示但数的方式已经不是十进制，不同的分数单位表示的分数大小不同，不同阶段有不同的抽象表示的道理一样。数的抽象思维的方式方面，数学核心素养的水平和层次水平，反映了学生抽象思维的不同阶段。
划分，是一个复杂的问题，不同的核心素养也有各自的特点。持久性是指数学核心素养是关注学生终身受益的第五是持久性。还不仅有助于学生对数学知识的理解与把握，思维品质与关键能力，在上面的实将伴随学生进一步学习，以及将来走向生活和面向社会。同样例中，数感与数的抽象是学生在小学阶段认识数所需要的能力，学习其学习数学需要抽象能力，在中学乃至大学也需要这样的能力。以及生活与工作他学科也同样需要抽象思维。数学学习以外的学习，中遇到的现
实问题，也需要抽象思维。学会抽象的思维方式，将会伴
随学生的终身。这体现了这一核心素养的持久性。".
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正确地学生的数学核心素养的培养贯穿于数学教育过程的始终，全面地理解数学核心素养有助于在数学教学过程中培养学生的数学具体的策略与核心素养，使核心素养的培养在数学学科中得到落实。
方法需要在教学过程中不断探索和实践。
".
数学核心素养
数学学科核心素养
1、概念：
学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的数学思维品质与关键能力。
2、课程目标与核心素养——核心素养立意
●四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；
●四能：提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；
●用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界；
●两种意识：应用意识及创新意识。
3、核心素养整体性：基本关系
数学抽象---直观想象----逻辑推理---数学建模
||||数学运算数据分析
4、核心素养基本内容
学科核心素养是有人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力，数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。
（1）数学抽象
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。
数学抽主要表现为获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与休系。
通过高中数学课程的学习，学生能在情境中提出数学概念、方法和体系，积累从具体到抽的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，运用数学抽象的因维方式思考并解决问题。
用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界
高中毕业水平：
●能够在若干具体情境中直接抽象出数学概念和规则；能够在特例的基础上归纳出数学规律并形成数学命题；能够在新的情境中模仿学过的数学方法解决问题。（问题与情境）
●能够用恰当的事例解释抽象的数学概念和规则；能够分析数学命题的条件与结论；能够在具体的情境中抽象出数学问题。（知识与技能）
●能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证；能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想。（思维与表达）
●在交流的过程中，能够用恰当的例子解释抽象概念。（交流与反思）
高考水平：
●能够在若干数学情境中抽象出一般的数学概念和规则；能够将已知数学命题推广到更一般的情形；能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题。（问题与情境）
●能够从多个角度理解数学概念、规则和命题；能够运用多种形式表示数学命题的条件与结论，并建立相关命题的联系；能够理解和构建相关数学知识之间的联系。（知识与技能）
●能够用准确的数学语言表达学过的数学概念、规则、命题与模型；能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学思想。（思维与表达）
●在交流的过程中，能够用一般的概念解释具体现象。（交流与反思）
拓展水平：
●能够在科学情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予以表达；能够在数学结论基础上形成新命题；能够创造或灵活运用数学方法解决问题。（问题与情境）
●能够通过数学对象及其运算或关系理解数学的抽象结构；能够理解数学结论的一般性；能够感悟高度概括、有序多级的数学知识体系。（知识与技能）
●在现实问题中，能够把握研究对象的数学特征，并用准确的数学语言予以表达；能够感悟通性通法背后的数学原理和其中蕴含的数学思想。（思维与表达）
●在交流的过程中，能够用数学原理解释自然现象和社会现象。（交流与反思）
2.逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维。
逻辑推理主要表现为:掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命題体系，有逻辑地表达与交流。
通过高中数学课程的学习，学生能掌提逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题，能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络形成里论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力。
高中毕业水平：
●能够在生活情境中，发现数量或图形方面的规律性，用归纳或类比提出数学命题。
●能够在具体的数学内容中，判断什么是归纳、类比推理，什么是演绎推理；知道归纳、类比是或然性推理，演绎推理是必然性推理。
●能够通过实例理解演绎推理的多种形式和相应的推理规则。对于给定的与学过知识有较强关联的数学命题，能够运用学过的方法探究条件与结论的逻辑关系，证明或者证否命题，并能有条理地表述论证过程。
●能够了解相关概念、命题、定理之间的逻辑关系。能够在交流过程中，明确所讨论问题的主题，有条理地表达观点。
高考水平：
●能够在实际情境和数学情境中，发现蕴含的数学规律，提出有价值的数学问题，并予以数学表达。能够理解归纳、类比是发现和提出数学命题的重要途径。
●理解分析法、综合法、反证法、数学归纳法、举反例等论证方法。
●对于给定的与学过知识有一些关联的数学命题，能够探索论证的思路，选择合适的论证方法予以证明或者证否，并能用准确的数学语言表述论证过程。
●能够理解各个教学模块中概念、命题、定理之间的逻辑关系，初步建立网状的知识结构。
●能够在交流的过程中，围绕讨论问题的主题，观点明确，有理有据。
拓展水平:●能够在现实情境与科学情境中，用数学的眼光找到合适的研究对象，发现研究对象间较本质的数学联系，深入思考，提出有价值的数学问题。
●能够理解常用演绎推理方法、规则的原理和思想。
●对于条件不全的数学问题，能够提出不同的假设前提，多方探究，推断结论，得出新的数学命题。对于较复杂的数学问题，能够借鉴学过的论证思路，通过构建过渡性命题，探索论证的途径，解决问题，并会用形式化的数学语言严谨表达论证过程。
●能够理解建构数学体系的公理化思想。
●能够合理地运用数学语言和思想进行跨学科的表达与交流。
3.数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言发现问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算水解。检验结果，改进模型，最终解决实际问题。
数学模型搭建了数学与外都世界联系的桥梁，是数学应用的要形式。数学建模是应用数学解快实际问的基本手段，也是推动数学发展的动力。
数学建模主要表现为，发现和提出问题，建立和水钢模型，检验和完持模型，分析和解决问题。
通过高中数学课程的学习，学生能有识地用数学语言表达现实世界。发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验认识数学校模型在科学、社会、工程技术请多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。
高中毕业水平:●能够了解学过的数学模型的实际青景；能能作简单实际情境中发现问题，能够在实际情境中提出简单的数学模型。
●能够了解学过的数学模型的实际意义，在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程，建立并求解模型。
●结合简单实例，能够了解数学建模的个过程：提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型；能够说明数学建模的过程，解释结论。
●在交流的过程中，能够结合具体的数学建模案例表达结果。
高考水平:●能够理解数学模型的实际背景;能够在实际情境中，发现问题，转化为数学问题，并理解其数学内涵。
●能够理解数学模型的实际意义和应用范围;能够在给定的实际情
境中，通过分析，选择、运用数学知识建立并求解模型。
●能够理解数学建模的全过程:提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型。能够运用数学语言，表达数学建模过程中的问题以及解决间题的过程和结果，形成简单的研究报告。
●在交流的过程中，能够完整的表达数学建模的过程和意义。
拓展水平:●能够在科学和社会情境中，运用数学思维进行分析，发现情境中的数学关系，提出数学问题。
●能够在科学和社会情境中，综合运用数学建模的一般方法和相关知识，建立数学模型，解决问题。
●能够运用数学建模的思想方法，创新地解决实际问题，能够运用数学语言，清晰准确的表达数学建模的过程和结果，形成研究论文。
●在交流的过程中，能够通过数学处模的结论闸释科学规律和社会现象。
4.直观想象
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括:借助空间形式认识事物的位置关系、形状变化与运动规律；利用图形描述，分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。
直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路，进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。
直观想象主要表现为，建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间相象认识事物。
通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力，增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识，形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质。
高中毕业水平:●能够在具体情境中，建立实物的几何图形，体会图形与图形、图形与数量的关系，休会图形的运动规律。
●在具体的数学情境中，能够借助图形性质发现数学规律；能够描述简单图形的位置关系和度量关系及其特有性质。
●在具体的数学情境中，能够通过直观理解数学问题；能够用图形描述和表达数学问题，启迪解决问题的思路。
●能够利用图形的直观进行交流。
高考水平:●能够在实际和数学情境中，想象并构建相应的几何图形，借助图形提出数学问题，发现图形与图形、图形与数量的关系，探索图形的运动规律。
●能够掌握研究图形与图形、图形与数量关系的基本方法；能够借助图形性质探索数学规律；能够通过计算、分析、论证，解决实际问题或数学问题。
●能够通过想象提出数学问题;能够用图形探索解决问题的思路。
●在交流的过程中，能够利用直观想象探讨数学问题。
拓展水平:●能够在科学情境中，借助图形，通过想象提出数学问题，构建数学模型。
●能够综合利用图形与图形、图形与数量关系，建立数学各分支之间的联系；能够借助直观想象处立数学与其它学科的联系，并形成理论休系的直想模型。
●能够通过想象对复尔的数学问题进行直观长达，反应数学问题的本质，形成仰火间题的思路。
●在交流的过程中，能够利用直观想象探讨科学问题的本质及其与数学的联系。
5.数学运算
数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。
数学运算是解决数学问题的基本手段。数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础。
数学运算主要表现为理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。
通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力，有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
高中毕业水平:●能够在简单的数学情境中理解运算对象，提出运算问题，建立运算关系。
●能够理解运算法则的背景和适用范围，掌握基本的运算法则，根据数学问题特征选择合适的运算法则，解决问题。
●在运算过程中，能够体会运算法则的意义和作用；能够运用运算验证数学结论。
●在交流的过程中，用运算的结果说明问题。
高考水平:●能够在数学情境中明晰运算对象，提出运算问题，探究运算的方向和目标。
●能够针对运算问题，正确分析运算条件、确定运算方向；能够合理选择运算方法、设计运算程序，综合利用运算法则解决问题。
●能够在综合利用运算法则解决问题的过程中理解运算法则的意义和作用。
●交流的过程中，用运算的方法解释问题。
拓展水平:●在科学和社会情境中。能够发现运算问题，确定运算对象和运算法则，明确运算方向。
●能够将有关数学问题转化为运算问题；能够对运算问题，合理构造运算程序，并以此为基础建立解决问题模式。
●能够用运算程序化的思想解决问题；能够休会it算机解决问题的思想。
●在交流的过程中，用运算的方法探讨问题。
6.数据分析
数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养。数据分析过程主要包括:收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论。
数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网+”相关领城的主要数学方法，数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面。
数据分析主要表现为，收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识。
通过高中数学课程的学习，学生能提升获取有价值信就并进行定量分析的意识和能力，适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识本物的思维品质；积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。
高中毕业水平:●能够结合具体情境，识别随机现象，提出概率模型和统计问题；能够在新的情境中模仿学过的概率统计方法解决问题。
●能够对给定的实际情境，运用简单概率模型解决简单的问题；能够理解数据收集、表示和分析数据的基本方法。
●能够结合具体案例，理解统计概率的作用和意义，用统计和概率的语言表达简单的随机现象，体会
其中的随机思想。
●在交流的过程中，能够用统计图表和简单概率模型解释日常生活中的随机现象。
高考水平:●能够在生活情境中，识别随机现象和统计间题；能够结合具休随机现象，提出适当的概率和统计模型；能够在新的情境中选择、运用概率统计方法解决问题。
●能够选择概率模型刻画随机现象，运用概率模型解决随机问题；能够掌握统计建模的基本方法，并针对具体情境选择合适的统计模型解决问题。
●能够用统计概率的思维来分析随机现象，结合具休案例，理解统计概率结论的意义；能够用统计概率模型来表达随机现象的统计规律。
●在交流的过程中，能够用数据呈现的规律解释随机现象。
拓展水平:●能够在科学和社会情境中，发现与探索随机问题；能够选择适当的概率和统计模型描述创题；能够任新的情境中综合运川概率统计方法解决问题。
●能够针对不同的随机现象，综合运用统计概率知识构造相应的统计概率模型，解决问题，发现统计规律，形成知识。
●能够运用的方法，探索随机现象的统计规律；能够运用统计概率的语言，科学地衣达统计规律探索的过程和结果。
●在交流的过程中，能够用统计概率模型解释随机现象规律。
数学核心素养及其特征分析
2014年3月,教育部发布了《关于全面深化课程改革
落实立德树人根本任务的意见》，明确提出将研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准、修订课程方案和课程标准、改进学科教学的育人功能作为落实课程改革的关键领域和主要环节［1］.学生发展核心素养的研究与讨论,成为教育界乃至社会关注的重要话题.2016年9月13日，教育部公布《中国学生发展核心素养》,正式确定学生发展核心素养的框架、维度和指标。学生发展核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力［2]。学生发展核心素养的培养要体现在学校的教育教学过程之中，而学科教育占学校教育的70％以上,是学生在学校接受教育的主要途径。数学是中小学教育的主要学科之一,如何理解数学核心素养及其与学生发展素养的关系，数学核心素养有哪些重要的特征,对于小学数学教学中理解和体现核心素养的培养有重要意义。
一、数学核心素养的理解
虽然“学生的核心素养体现跨学科、综合性的能力培养”［3]，但学生发展核心素养形成，必然要通过学科教学来实现.并且每一个学科有自身的独特价值，在培养学生核心素养方面发挥特殊的作用，数学学科更是如此。
1.数学核心素养的含意。
数学核心素养是以数学课程教学为载体,基于数学学科的知识技能而形成的重要的思维品质和关键能力.数学核心素养是在数学知识技能的学习过程中形成的,有助于学生深刻理解与掌握数学知识技能。数学核心素养不等同于数学知识技能，是高于数学的知识技能,指向于学生的一般发展，反映数学学科的本质与及其赖以形成与发展的重要思想，有助于学生终身和未来发展。数学核心素养与数学课程的目标和内容密切相关，对于理解数学内容的本质，设计数学教学,以及开展数学学习评价等，有着重要的意义和价值。
一般认为，“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的认识、理解数学在自然、社会生活中的地位的能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。[4］”数学核心素养是数学素养中最重要的思维品质和关键能力，是人们通过数学的学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所必备的品质与能力，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。人们所遇到的问题可能是数学问题，也可能不是明显的和直接的数学问题，而具备数学素养的人可以从数学的角度看待问题，用数学的思维方法思考问题，用数学的方法解决问题。
《义务教育数学课程标准（2011年版)》明确提出数学教学中应特别重视的10个重要能力,即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识.可以把这10个重要能力理解为学生学习数学应达成的重要思维
品质和关键能力。因此，把它们理解为数学核心素养是恰当的.正在修订的《普通高中数学课程标准》明确提出了6大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析[5］。可见,普通高中课程标准中确定的数学核心素养与义务教育数学课程标准中提出的10个核心素养是一脉相承的，关键要素的表达是基本一致的.数学核心素养反映了数学的基本思想和学习数学的关键能力。史宁中认为，数学基本思想“是数学发展所依赖、所依靠的思想”.“数学发展所依赖的思想在本质上有三个:抽象、推理、模型,其中抽象是最核心的。通过抽象,在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展,然后通过模型建立数学与外部世界的联系"［6].数学基本思想是研究数学科学不可缺少的思想，也是学习数学，理解和掌握数学所应追求和达成的目标.可见，数学抽象、逻辑推理、数学建模反映的是数学基本思想，是核心素养中最重要的数学思维品质.另外三个方面的核心素养，数学运算、直观想象和数据分析，可以理解为学习数学的关键能力和方法。当然，思维品质和关键能力并非截然分开的,抽象、推理和建模也是学习数学的重要能力。
上述10个方面或6个方面的数学核心素养，是中小学数学教学过程中应当特别关注的，是基于数学知识技能学习过程而形成的。同时，这些素养又对学生深刻理解数学知识技能，进而体会数学学科本质,运用数学分析和解决问题，以及学生的一般发展，都有重要作用。
2.数学核心素养与学生发展核心素养的关系.
数学核心素养与学生发展核心素养具有共同的属性，即都是核心素养，关注的都是学生深层的长远发展。核心素养关注学生一般发展,学生发展核心素养是针对学生在一个阶段的学习形成的一般发展的重要的和关键的品质和能力，如社会担当、人文底蕴、学会学习等。数学核心素养是学生学习数学的过程中形成的体现学科本质的具有一般发展属性的品质与能力。学生发展核心素养与数学核心素养二者之间有内在的联系.可以通过图1理解学生发展核心素养与数学核心素养的关系。
首先,学生发展核心素养指向学生整体的全面的发展，是学生综合素养中的核心素养。数学核心素养作为学科核心素养处于学生发展核心素养的下位，同样指向学生发展核心素养,但数学核心素养并非全部属于学生发展核心素养,学科核心素养的总和不等于学生发展核心素养。一方面，学科教学不是学校教育的全部,学生发展核心素养并非全部由学科课程与教学完成；另一方面,学科核心素养大部分指向学生发展核心素养，但也不排除其中有一小部分只是针对学科内部的思维与能力，重点解决学科知识的理解所运用的思维品质与能力。就数学学科而言，数学核心素养中可能存在对于学科本身是重要的和关键的,而在学生的整体发展方面并非关键的核心素养.如数学中的几何直观，对于解决数学问题属于关键能力，可以作为数学的核心素养之一，但对于学生的一般发展未必是关键能力。
其次，数学课程与教学是实现学生数学核心素养的重要途径，也承担着形成学生发展核心素养的任务。数学课程与教学目标具有数学学科本身的特殊性，同时又是学生全面发展的组成部分,因此，数学课程与教学的最终目标是促进学生的发展。数学的课程设计与教学过程，既关注学生的数学核心素养的形成，又关注学生发展核心素养。数学教学过程承担着数学教育目标的实现任务，也具有发展学生的一般核心素养的功能。
再次，学生发展核心素养具有跨学科性.学校设计和组织的学科教学以外的各类活动对于学生发展核心素养发挥重要作用，但不意味着学生的核心素养一定要通过跨学科的方式实现.每一个学科都有培养学生的学科素养的任务，同样也是实现学生发展核心素养的重要载体。学生的核心素养既有跨学科性,又必须通过各学科的课程教学实现。
二、数学核心素养的特征
数学核心素养既具有学生发展核心素养的属性,也具有数学学科的属性.林崇德认为，核心素养具有六个方面的特征，“核心素养是所有学生应具有的最关键、最必要的基础素养;核心素养是知识、能力和态度等的综合表现；核心素养可以通过接受教育来形成和发展；核心素养具有发展连续性和阶段性；核心素养兼具个人价值和社会价值;学生发展核心素养是一个体系，其作用具有整合性"［7］.依据数学核心素养的特征，结合对数学核心素养的理解，数学核心素养的主要特征包括综合性、学科性、关键性、阶段性和持久性。
我们可以通过一个“数的认识”教学的实例说明数学核心素养的几个特征.“11-20的数认识"教学片段［8]：
“11-20的数认识”是学生第一次正式学习数位与数位上的值，是学习十进制计数法的开始。虽然这个内容许多学生在学前阶段就学过，但学生是否真正理解十进制数的表示方法,学生对不同数位上的数表示不同的数值是否清楚，这关系到“数感”和数的抽象等重要的数学思想。在这节课的设计上,教师针对学生可能存在的困惑，在理解这个知识的过程中，突出了数学抽象，注重学生“数感”的形成。以下的片段就是在学生具体感受古人是如何认识数的，怎样用小木棒表示12这个数等活动的基础上，提出一个富于思考的问题，引起学生的讨论和争论。
师：孩子们，我们的故事还在继续，还记得吗？聪明的古人用1个大石头和1个小石头表示出(11），我们用一捆小棒和一根小棒也能表示出(11）,但是问题来了，现在只有2颗长得像这样颜色一样、大小也一样的小珠子了，还能表示11吗？
(以下的讨论表现出学生意见不一致，有人认为能,有人认为不能，教师分别请几个代表到前边来讨论，说说自己的想法）
生1：我觉得2颗小珠子是一样大的，不能表示11,只能表示2，它就是2个，不能表示11。也可以表示20.生2:我摸的时候就像2颗，不像20.生3：有一颗当作十位,另一颗当作个位,就可以表示11了。
生4：用一颗珠子表示10个，另一颗表示1个。
生1:2颗一样大的，就不能表示11，要是一颗大、一颗小就可以了.可是这2颗小珠子一样大呀？又不是一颗大一个小。一样大的2颗珠子，要么表示2,要么表示20，不能表示11.师：是呀，都长得一样，你怎么能让所有人都知道到底谁是10谁是1呀？
生3：在一颗珠子上写十位，在另一颗珠子上写个位，就能区分了，就可以表示11了。
师：其实刚才他的想法和数学家的想法特别像，数学家为我们制造了计数的工具,快来看（出示计数器），认识吗？
师：这叫计数器。这是数学家帮我们发明的，看看，计数器上有好多的小位子，从右边开始第一位叫“个位”，第二位叫“十位”。
师：有了“计数器”的帮助,能不能表示出11呢？我们来看一看。
师：在黑板上画计数器,然后在个位上放一颗小珠子，表示什么？
生：1个一。
师：在十位上放1颗小珠子，这可不是1个一啦！
生:这是1个十。
师：真好,1个十和1个一合起来就是11。
上面的教学片段中，学生争论的焦点在于：用2颗相同的小珠子是否可以表示11。两种观点针锋相对，能表示11和不能表示11，都能说出道理。学生在这个过程中确实认真思考，动脑筋想问题，投入
到学习过程中了。最后抓住了理解这个问题的关键“在一颗珠子上写十位，在另一颗珠子上写个位",这样就可以表示11了。这是学生对数位与不同数位上的数字可以表示不同的值的理解过程。我们从这个教学片段的分析入手，可以分析学生核心素养的一些特征。
借助上面的案例，我们来分析学科核心素养的特征。
首先是综合性。综合性是指数学核心素养是数学的基础知识、基本能力、基本思想等的综合体现.数学基础知识和基本能力可以看作数学核心素养的外显表现.在上面“11-20的数认识”的教学过程中,涉及数的理解、数的意义和数的表示等基础知识,学生需要理解可以用数来表示小棒的个数，不同个数的小棒用不同的数来表示。当需要表示11、12根小棒这样的数量的时候,就产生了不同的表示方法，引起学生思维上的冲突.当老师提出“用同样的两颗珠子能不能表示11”时,出现两种不同的想法，在两种想法的讨论、争论的过程中，学生的思维不断得到启发，逐步把原有的知识与方法和现在遇到的情境进行整合，形成对这个问题的新的理解与认知。这一过程是综合运用知识技能与设计方法的过程，既对所学知识有深刻的理解,又形成了重要的数学思想.核心素养总是基于基础知识和基本能力实现的，并且外化于运用基础知识和基本能力解决问题的过程。在这个过程中,数学基本思想与学习态度等核心素养总是表现为内隐的特质。
第二是学科性。数学核心素养总是具有数学的学科属性，这种学科性与数学学科内容的特征和数学思维密切联系。数学的知识技能又蕴含与之密切相关的数学思维品质和关键能力.因此，数学核心素养
总是与一个或多个学习内容有关，体现数学学科自身的特征。上面实例中的内容是数的认识，是“数与代数”领域中的核心内容，与之相关的核心素养是数感,或数学抽象。
第三是关键性。数学核心素养是学生学习过程中应达成的思维品质和关键能力。数学课程与教学的设计和实施过程，都需要学生在理解掌握知识技能的过程中，运用不同的思想、方法、技能和技巧。并不是数学学习中所有的方法和能力都能成为数学核心素养，数学核心素养是反映数学学科发展的，理解和解决一类数学问题的思想和能力，不是只适用于特定的内容和特定情境的方法。上面实例中，认识数的时候，两个两个数，五个五个数等，都是表示数的方法,在一定的情境中是适用的.而对于数的认识，通用的方法是十进制计数法。学生掌握不同数位上的数字可以表示不同的数值，不只对于理解20以内的数有价值，进一步理解更大的数同样是这样的方法。因此，学习抽象的表示数的方法对于学生来说是学习数的认识的重要思想.第四是阶段性。在数学学习过程中形成核心素养是学生终身受用的，核心素养也是在学习的不同阶段逐渐形成的。数学核心素养的阶段性是指核心素养表现为不同层次水平,不同学段学生的核心素养表现为不同水平。在上面的例子中，学习的内容是数的认识的开始，学生是初步建立数感,初步体验数的抽象性。在这里，数的意义和数的表示仅限于20以内的数.随着学生的年级增高，学习的数也在不断拓展,从20以内的数，到，100以内、万以内的数,进而从整数拓展到小数和分数。数的认识的内容在不断拓展,对数的抽象水平也不断提
升.基本的思考方式是相同的,都是从数量抽象为数，但思维的水平在不断加深。不同数位上的数字表示不同的数的道理是一样的，在整数范围是十位、百位、千位、万位,拓展到小数就有十分位、百分位、千分位.学习分数时，数的表示方式有所不同，虽然数的表示方式已经不是十进制，不同的分数单位表示的分数大小不同，但数的表示的道理一样。数的抽象思维的方式方面，不同阶段有不同的抽象水平，反映了学生抽象思维的不同阶段。数学核心素养的水平和层次划分，是一个复杂的问题，不同的核心素养也有各自的特点。
第五是持久性.持久性是指数学核心素养是关注学生终身受益的思维品质与关键能力,不仅有助于学生对数学知识的理解与把握,还将伴随学生进一步学习,以及将来走向生活和面向社会。在上面的实例中,数感与数的抽象是学生在小学阶段认识数所需要的能力，同样在中学乃至大学也需要这样的能力。学习数学需要抽象能力,学习其他学科也同样需要抽象思维。数学学习以外的学习，以及生活与工作中遇到的现实问题，也需要抽象思维。学会抽象的思维方式，将会伴随学生的终身。这体现了这一核心素养的持久性。
学生的数学核心素养的培养贯穿于数学教育过程的始终，正确地全面地理解数学核心素养有助于在数学教学过程中培养学生的数学核心素养，使核心素养的培养在数学学科中得到落实。具体的策略与方法需要在教学过程中不断探索和实践。
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